Пространственное распределение скоростей При движении твердого тела скорости каждой точек либо равны, как при поступательном движении, либо распределены вокруг мгновенного центра вращения, как при вращении. Доказательство:
Исходя из теоремы Шаля, движение - это либо поворот, либо параллельный перенос. Следовательно, скорости распределены либо как при поступательном движении (все равны), либо как при повороте (перпендикулярны прямой, проходящей через точку и центр вращения и пропорциональны расстоянию от точки до центра с коэффициентом угловой скорости).
Момент силы - это векторное произведение силы на вектор, идущий из центра вращения к точке приложения силы. В данном случае рассматривается модуль получающегося вектора, то есть M = r*F*sin α, где α - угол между вектором силы и вектором, идущем к точек приложения. Доказательство
Условие равновесия материальной точки: Материальная точка находится в равновесии т. и т. т., к. сумма сил, действующих на нее равна нулю. Условие равновесия тела с закрепленной осью вращения: Тело с закрепленной осью вращение находится в равновесии т. и т. т., к. сумма моментов сил, действующих на него, равна нулю. Доказательство:
Пусть у нас есть некоторое тело, с закрепленной осью вращения в точке O. В точке А к нему приложена сила F, составляющая с OA угол ɑ. Подождем время Δt. Тогда под влиянием силы F, тело повернется на угол φ. Точка A перейдет в точку B, такую, что OA=OB, а ∠AOB = φ. Тогда работа силы F по перемещению точки A в B равна: A = (F*sin ɑ)*(φ*OA), где F*sin ɑ - проекция силы на нормаль к OA (Та часть силы, которая не скомпенсировалась силой реакции опоры в точке O (Закрепленная ось вращения)) Преобразуя: A = (F*OA*sin ɑ)*φ = M*φ, где M - момент силы F Так как работа - вещь аддитивная, как и момент, как и сила, то ∑A = φ∑Mi Если тело не повернулось, то суммарная работа равна нулю, что возможно лишь при ∑M = 0.
q.e.d.
Условие равновесия тела под действием плоской системы сил: Тело, находящееся под действием плоской системы сил находится в равновесии т. и т. т., к. сумма сил, действующих на него, равна нулю и сумма их моментов тоже.
Принцип независимости не жирен, следовательно, доказывать его не надо. Кривизна - это величина, характеризующая наклон траектории. Если у нас есть точка А, и следующая за ней точка B на траектории, а касательные к траектории в точках А и B пересекаются под углом φ, а длина траектории между этими точками составляет l, то
K = \lim_{l \to 0} {\frac{\phi}{l}}
Радиус кривизны траектории - это радиус окружности, по которой в данный момент движется точка, величина, обратная K. Обозначается ρ. ρ = 1/K.
Центр масс - это такая точка, в которую ведет следующий радиус вектор:
r = \frac{\sum{m_i \cdot r_i}}{\sum{m_i}}
Корректность определения: Центр масс не зависит от системы отсчета. Доказательство:
Пусть у нас есть 2 системы отсчета: первая и вторая. Мы посчитали центр масс относительно второй системы отсчета, а в начало координат второй системы ведет вектор a из начала координат первой. Посчитаем центр масс относительно первой системы:
Теорема о группировке/сборке: Можно получить центр масс группы точек, составляющей часть нашей системы, а затем получить центр масс получившейся системы, состоящей из полученного центра масс и оставшихся точек, и этот центр масс будет совпадать с тем, как если бы мы получили его ото всех точек сразу. Доказательство:
Докажем для 3х точек. Обозначим эти 3 точки номерами - 1, 2, 3. Центр масс этой системы:
r = \frac{m_1r_1+m_2r_2+m_3r_3}{m_1+m_2+m_3}
Соберем первую и вторую точки. Получим точку с массой (m1 + m2) и радиус-вектором:
Итак, кто-то реквестировал доказательства? Ну что-ж, сами виноваты!
Навигация: 122.534 Доказательства теорем, часть 1. 1. Закон сложения скоростей: Vа = Vо + Vп Доказательство:
Очевидней некуда. Записываем координаты точки А в момент времени t относительно обоих систем отсчета. Затем делаем то же самое для времени t+dt. Вычитаем, делим на dt и получаем то что надо!
2. Связь кинематических величин при равноускоренном движении v = v0+at S = v0t + at2/2 2aS = v2-v02 2S = t(v0 + v) Доказательство:
Первые 2 через графики. Вы еще помните, что площадь под графиком v(t) - это путь? 3: Тут все тоже просто. Выражаем t из первой и подставляем во 2ю, преобразуем, и получаем 3ю 4: Тут не так все просто. Выносим во 2й t/2 за скобку, получаем в скобках (v0+v0+at). Вспоминаем первую, и подставляем вместо (v0+at) (v). Для векторов первые две формулы доказывается разложением на проекции и последующим суммированием. Четвертая формула доказывается также как и для обычных, просто палочки нарисовать. А вот четвертая... Берем первую: at = v - v0 И четвертую: 2S = (v+v0)t Перемножим, используя скалярное пр-е вектором! Получим как раз третью формулу!
3. Траектория равноускоренно движущейся точки: Это парабола. Доказательство:
Навигация: 122.534 Доказательства теорем, часть 3! 9. Теорема о движении центра масс: Сумма внешних сил, действующих на систему, равна произведению суммарной массы системы на ускорение ее центра масс. Доказательство:
ve - конечная скорость vs - начальная скорость q.e.d.
13. Закон сохранения механической энергии В системе, в которой действую лишь консервативные силы, механическая энергия постоянна. Доказательство:
Из теоремы о кинетической энергии, A = ∆Ek Работа состоит из работы консервативных сил и из работы неконсервативных сил. Ak + Auk = ∆Ek Как известно, работа консервативных сил противоположна изменению потенциальной энергии -∆Ep + Auk = ∆Ek Т.о. Auk = ∆Ek + ∆Ep = ∆(Ek + Ep) = ∆Em Так как по условию неконсервативных сил нет, то их работа равна нулю, то есть изменение механической энергии равно нулю. q.e.d.
14. Условие равновесия тела с закрепленной осью вращения: Доказательство:
