Первая формула очевидно следует из определения радианной меры угла.
Вторая формула:
φR = l
∆φR = ∆l
∆φ/∆t * R = ∆l/∆t
ωR = v

---

Третья формула:
|v| = ωR
∆|v| = ∆ωR
∆|v|/∆t = ∆ω/∆t * R
∆|v|/∆t = ε * R

---

Четвертая формула:

Пусть за маленькое время наша точка А переместилась по окружности с центром О в точку В (на угол φ) с неизменной скоростью v.
Тогда угол между векторами скоростей равен φ (углы с перпендикулярными сторонами).
Отложим от некоторой точки К вектора KL и KM равные v в А и v в В.
угол LKM = φ. Поскольку время маленькое, то φ -> 0, таким образом, угол KLM -> 90, то есть ∆v перпендикулярна v, а поскольку a_n = ∆v/∆t,то a_n тоже перпендикулярна KL, то есть центростремительное ускорение перпендикулярно скорости.
Также, по 2м сторонам и углу, OAB подобен KLM. (R = OA) То есть ∆v/v = AB/R. Так как φ -> 0, то AB->l (длина дуги AB). А l = v∆t (по определению скорости). То есть,
∆v/v = v∆t/R
∆v/∆t = v²/R
a = v²/R
q.e.d.