Формулировка:

Есть трехгранный угол SABC, но такой, что точки A, B и C выбраны следующим образом:
CA перпендикулярна SA,
CB перпендикулярна SB.

1) В таком случае опустим перпендикуляр CO из точки C на плоскость SAB.
По теореме о трех перпендикулярах (CA -> OA при ортогональной проекции на ASB),
AO перпендикулярна AS.
Аналогично,
BO перпендикулярна SB.

2) Исходя из того, что CO перпендикулярно ABS,
CO перпендикулярна AO,
CO перпендикулярна BO.

sin A = sin CAO = CO / AC
sin B = sin CBO = CO / BC

sin BSC = CB / SC
sin CSA = AC / SC

sin A / sin BSC = CO*SC / AC*BC
sin B / sin CSA = CO*SC / BC*AC

Они равны.

---

Трехгранный угол SABC.
Возьмем точки F на SC, E на SB, D на SA, такие что:
DF перп SC, FE перп SC.

В таком случае уголSFE = уголC
Запишем несколько теорем косинусов:


Вычтем:

Воспользуется теоремой Пифагора



Преобразуем:

Перемножая скалярно, получаем: (a перп c, b перп c)

Так как длины всех векторов равны 1, то можно поделить обе части равенства на 1 в квадрате и получить:

Небольшие преобразования, использующие тригонометрические тождества:

Заменив разность на х, сумму на y, получаем

Заметим, что пара чисел х и y однозначно задают альфу и бету. При этом, сами они друг от друга не зависят, и ограничиваются только следующими неравенствами
0 <= x+y <= 180
0 <= x-y <= 180
Поэтому, можно говорить о:


Складывая, получаем:

Следовательно, гамма может быть любым.