Пусть сторона с - самая большая, тогда перпендикуляр из противолежащей вершины длины h попадет на сторону c.
1)рассмотрим трABH

 
 x^2+h^2=a^2 
 h^2=a^2-x^2 
 

2)рассмотрим трHBC.

 
 (c-x)^2+h^2=b^2 
 h^2=b^2-(c-x)^2 
 a^2-x^2=b^2-(c-x)^2 
 a^2=c+2cx+b^2 
 

3)

 
 x={{c^2+a^2-b^2}\over{2c}} 
 

из (1) и (3)

 
 h^2=a^2-\Bigl({{a^2-b^2+c^2}\over{2c}}\Bigr)^2={{2ac-(a^2-b^2+c^2)}\over{2c}}\cdot{{2ac+(a^2-b^2+c^2)}\over{2c}}= 
 ={{b^2- (a^2-2ac+c^2 )} \over{2c}}\cdot{{(a^2+2ac+c^2)-b^2}\over{2c}}= 
 =\frac{b^2-(a-c)^2}{2c}\cdot\frac{(a+c)^2-b^2}{2c}= 
 =\frac{(b-(a-c))(b+(a-c))}{2c} \cdot 
 \cdot \frac{((a+c)-b)((a+c)+b)}{2c}= 
 =\frac {(b-(a-c))(b+(a-c))((a+c)-b)((a+c)+b)}{4c^2}= 
 =\frac {(a+b+c-2a)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c)}{4c^2}= 
 =\frac {(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)\cdot 2p}{4c^2}= 
 =\frac {2^4\cdot (p-a)(p-c)(p-b)p}{2^2\cdot c^2}= 
 =\frac {4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}= 
 =\Bigl(\frac {2}{c}\cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Bigr)^2 
 S=\frac{1}{2}\cdot c \cdot h= 
 =\frac{1}{2}\cdot c \cdot \frac{2}{c} \cdot \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= 
 =\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} 
 

Примечание:
p>a, т.к.

 
 p-a = \frac{1}{2}(b+c-a) 
 

А по неравенству треугольника b+c>a