В следующий раз, 21 марта, планируется дорешать некоторые задачи по теме инверсия (остались упражнения 10-11, задачи 2, 5-7, 9-11 и весь листочек 4,5, но разберём мы, конечно, не всё), а затем приступить к теме "Проективные преобразования", которая завершит эту серию листков. Сегодня я обещал дать ссылку на те книги, по которым можно разобраться с понятием радикальной оси, часто используемым в олимпиадной математике. В книге Прасолов В.В. "Задачи по планиметрии" с понятием радикальной оси можно разобраться, решив серию задач на стр.63-65, на мой взгляд, это самый правильный путь. Другой путь - книга Понарин Я.П. "Элементарная геометрия", часть 1, §16. Ещё один источник - книга Жижилкин И.Д. "Инверсия", стр.49-52. Все эти книги можно воспринимать и как литературу по теме занятий нашего кружка в целом.
Что касается того, чем заниматься после того, как мы покончим с геометрическими преобразованиями, то можете оставлять заказы. Логичным продолжением начатой темы может быть рассмотрение геометрических преобразований в отношении кривых второго порядка (они же квадрики=коники=конические сечения=эллипс+парабола+гипербола), но боюсь, все устали от геометрии. Другим логичным продолжением может быть отклонение в сторону алгебры: можно ввести понятие группы, немного поговорить о теории групп и даже попробовать двигаться к доказательству теоремы Абеля о том, что общие уравнения степени 5 и выше не разрешимы в радикалах. Можно и кардинально сменить тему. Например, у Миши Вербицкого есть программа математического развития. На школьные годы там приходятся следующие знания:
* Евклидова геометрия, комплексные числа, скалярное умножение, неравенство Коши-Буняковского. Начала квантовой механики (Кострикин-Манин). Группы преобразований плоскости и пространства. Вывод тригонометрических тождеств. Геометрия на верхней полуплоскости (Лобачевского). Свойства инверсии. Действие дробно-линейных преобразований.
* Кольца, поля. Линейная алгебра, конечные группы, теория Галуа. Доказательство теоремы Абеля. Базис, ранг, определители, классические группы Ли. Сечения Дедекинда. Определение поля вещественных чисел. Определение тензорного произведения векторных пространств.
* Теория множеств. Лемма Цорна. Вполне упорядоченные множества. Базис Коши-Гамеля. Теорема Кантора-Бернштейна. Несчетность множества вещественных чисел.
* Метрические пространства. Теоретико-множественная топология (определение непрерывных отображений, компактность, собственные отображения). Счетная база. Определение компактности в терминах сходящихся последовательностей для пространств со счетной базой. Гомотопии, фундаментальная группа, гомотопическая эквивалентность.
* p-адические числа, теорема Островского, умножение и деление p-адических чисел в столбик
* Дифференцирование, интегрирование, формула Ньютона-Лейбница. Дельта-эпсилон формализм, лемма о милиционере.
Зелёным я выделил то, что вам рассказывал или наверняка ещё расскажет Иван Генрихович, и то, что сейчас мы прошли на кружке. То, что я выделил красным и оранжевым, вам скорее всего не расскажут, и при желании можно заняться этим на кружке. Оранжевым я выделил то, что, как мне самому кажется, интересно было бы обсудить в самое ближайшее время.
Можно долго обсуждать, насколько правильно составлена программа Вербицкого, но могу точно сказать, что тот, кто её прилежно освоит, будет хорошим математиком. А так, не ставя цели освоить даже всю матшкольную часть этой программы, отдельные вещи нам, несомненно, полезно было бы разобрать.
